Der gerade Kreiszylinder
Der gerade Kreiszylinder ist ein räumlicher Körper mit zwei kongruenten, parallelen Kreisflächen (Grundflächen) und einer Mantelfläche. Bekannte Beispiele: Dosen, Rohre, Säulen, Gläser und Tanks.
Im Gegensatz zur Kugel hat der Zylinder zwei unabhängige Parameter: den Radius r und die Höhe h. Daraus ergeben sich Volumen, Mantelfläche und Oberfläche. In Technik und Alltag ist der Zylinder einer der häufigsten geometrischen Körper.
Formeln des Zylinders
| Größe | Formel | Beschreibung |
|---|---|---|
| Volumen | V = π · r² · h | Grundfläche × Höhe |
| Mantelfläche | M = 2 · π · r · h | Seitenfläche (abgerollt: Rechteck) |
| Grundfläche | G = π · r² | Kreisfläche (Boden oder Deckel) |
| Oberfläche | O = 2 · π · r · (r + h) | Mantel + 2 Grundflächen |
| Umfang | U = 2 · π · r | Umfang der Grundfläche |
Rechenbeispiele aus dem Alltag
Beispiel 1: Getränkedose (r = 3,3 cm, h = 11,5 cm)
V = π · 3,3² · 11,5 = π · 10,89 · 11,5 ≈ 393 cm³ ≈ 0,393 Liter
O = 2 · π · 3,3 · (3,3 + 11,5) ≈ 307 cm² (Materialverbrauch)
Beispiel 2: Regentonne (r = 30 cm, h = 90 cm)
V = π · 30² · 90 = π · 900 · 90 ≈ 254.469 cm³ ≈ 254 Liter
Beispiel 3: Swimmingpool (r = 2,5 m, h = 1,2 m)
V = π · 2,5² · 1,2 = π · 6,25 · 1,2 ≈ 23,6 m³ = 23.600 Liter
M = 2 · π · 2,5 · 1,2 ≈ 18,85 m² (Folie für die Wand)
Zylinder im Vergleich
| Objekt | Radius | Höhe | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|---|---|
| Trinkglas | 3,5 cm | 12 cm | 462 cm³ | 341 cm² |
| Konservendose | 3,8 cm | 10,8 cm | 490 cm³ | 349 cm² |
| Eimer (10 L) | 13 cm | 19 cm | 10.092 cm³ | 2.614 cm² |
| Öltank (1.000 L) | 40 cm | 200 cm | 1.005.310 cm³ | 60.319 cm² |
Zylinder vs. andere Körper
Wie verhält sich der Zylinder im Vergleich zu anderen geometrischen Körpern?
Zylinder vs. Kugel
Bei gleichem Volumen hat eine Kugel immer eine kleinere Oberfläche. Ein Zylinder mit r = h (optimales Verhältnis) kommt der Kugel am nächsten.
Zylinder vs. Quader
Ein Zylinder mit dem gleichen Volumen wie ein Würfel hat ca. 8 % weniger Oberfläche. Das ist der Grund, warum Dosen rund sind – weniger Material bei gleichem Inhalt.
Zylinder vs. Kegel
Ein Kegel mit gleichem Radius und gleicher Höhe hat genau 1/3 des Zylindervolumens. V(Kegel) = 1/3 · π · r² · h.
Optimaler Zylinder: Minimale Oberfläche
In der Verpackungsindustrie ist die Frage wichtig: Welches Verhältnis von Radius zu Höhe verbraucht am wenigsten Material bei gegebenem Volumen?
Mathematisches Optimum
Die minimale Oberfläche bei gegebenem Volumen ergibt sich bei h = 2r (Höhe = Durchmesser). In der Praxis weichen Dosen davon ab, weil Stapelbarkeit und Griffigkeit wichtiger sind als perfekte Materialeffizienz.